2017年全國碩士研究生招生考試\n\n數(shù)學 (一)

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祝大家一戰(zhàn)上岸
填寫考試姓名:
一、選擇題:1~8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有 一個選項是符合題目要求的.
(1)若函數(shù)在x=0 處連續(xù),則
(2)ab=0(2)設函數(shù)f(x)   可導,且f(x)f'(x)>0,則

(3)函數(shù)f(x,y,z)=x2y+z2在點(1,2,0)處沿向量n=(1,2,2)的方向導數(shù)為

(4)甲、乙兩人賽跑,計時開始時,甲在乙前方10(單位:m) 處.圖中,實線表示甲的速度曲線v=v?(t)(單位:m/s),   虛線表示乙的速度曲線v=v?(t), 三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3.計時開始后乙追上甲的時刻記為t?(單位:s),則


(5)設α為n維單位列向量,E為n階單位矩陣,則

(6)已知矩陣 ,則

(7)設A,B  為隨機事件.若0<P(A)<1,0<P(B)<1, 則P(A|B)>P(A|B)的充分必要條件是

(8)設X,X?,…,X?(n≥2)為來自總體 N(μ,1)的簡單隨機樣本,記,則下列結論中不正確的是

二、填空題:9~14小題,每小題4分,共24分.

10. (9)_________
11. (10)微分方程y"+2y'+3y=0的通解為y=_________
12. (11)若曲線積分在區(qū)域D={(x,y)|x2+y2<1}內與路徑無關,則a=:_________
13. (12)冪級數(shù)在區(qū)間(-1,1)內的和函數(shù)S(x)=_________
14. (13)設矩陣α12,α?  為線性無關的3維列向量組,則向量組Aα?,Aα2,Aα?的秩為:_________
15. (14)設隨機變量X 的分布函數(shù)為,其中Φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù),則EX=_________

三、解答題:15~23小題,共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

設函數(shù)f(u,v)   具有2階連續(xù)偏導數(shù),y=f(e2,cosx),

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(16)(本題滿分10分)



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(17)(本題滿分10分)

已知函數(shù)y(x)  由方程x3+y3—3x+3y-2=0確定,求y(x)的極值.

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(18)(本題滿分10分)

設函數(shù) f(x)在區(qū)間[0,1]上具有2階導數(shù),且f(1)>0  證明:

(1)方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)內至少存在一個實根;

(2)方程f(x)f"(x)+[f'(x)]2=0在區(qū)間(0,1)內至少存在兩個不同實根.

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(19)(本題滿分10分)

設薄片型物體S是圓錐面被柱面z2=2x  割下的有限部分,其上任 一點的密度為μ(x,y,z)=.記圓錐面與柱面的交線為C.

(1) 求C 在xOy平面上的投影曲線的方程;

(2)求S的質量M.

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(20)(本題滿分11分)

設3階矩陣A=(a?,α?,α?)有3個不同的特征值,且a?=α?+2α?.

(1)證明r(A)=2;

(2)若β=α?+a?+α?,求方程組Ax=β的通解.

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(21)(本題滿分11分)

設二次型f(x?,x?,x?)=2x2—x2+ax3+2x?x?—8x?x?+2x?x?,在正交變換x=Qy 下的標準形為,求a的值及一個正交矩陣Q.

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(22)(本題滿分11分)

設隨機變量X,Y  相互獨立,且X的概率分布為,Y的概率密度為

(1)求P{Y≤EY};

(2)求Z=X+Y的概率密度.

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(23)(本題滿分11分)

某工程師為了解一臺天平的精度,用該天平對一物體的質量做n 次測量,該物體的質量μ是已知的.設n次測量結果X?,X?,…,X。相互獨立且均服從正態(tài)分布N(μ,o2),該工程師記錄的是n 次測量的絕對誤差Z=|X-μ|(i=1,2,…n). 利用Z?,Z?,…,Z。估計σ.

(I)求Z?的概率密度;

(Ⅱ)利用一階矩求σ的矩估計量;

(Ⅲ)求σ的最大似然估計量.

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